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Johanna Mareen Neuhaus

• For an embedding S in G of complex reductive groups, we denote by X the projective variety defined by the G-orbit through a highest weight vector v of an irreducible G-representation V. Then the ring of S-invariant polynomials on X is finitely generated. The saturation coefficient of S in G denotes the smallest positive integer n, such that there exist a non-trivial S-invariant polynomial on X for any irreducible G-representation V. In this thesis we discuss the existence and values for the saturation coefficient in case that S is an \(SL_2\)-subgroup of a classical group. We determine the coefficient for several types of \(SL_2\)-subgroups and give an upper bound for the general case. To do so, we consider the \(SL_2\)-invariant polynomials on (irreducible) \(SL_2\)-representations on the degrees 2 to 4 by using a combinatorial approach and we discuss the (non-)vanishing loci of the invariant polynomials of degree 4 in detail.
• Für eine Einbettung S in G komplexer reduktiver Gruppen bezeichne X die projektive Varietät, welche durch die G-Bahn durch einen höchsten Gewichtsvektor v in einer irreduziblen G-Darstellung V definiert ist. Dann ist der Ring der S-invarianten Polynome auf X endlich erzeugt. Der Saturierungskoeffizient von S in G ist die kleinste positive ganze Zahl n, sodass es zu einer beliebigen irreduziblen G-Darstellung V stets ein nicht-triviales Polynom von Grad n auf X gibt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Existenz und Bestimmung des Saturierungskoeffizienten für den Fall, dass S eine \(SL_2\)-Untergruppe einer klassischen Gruppe G ist. Wir bestimmen den Koeffizienten für verschiedene Typen von \(SL_2\)-Untergruppen und geben eine Abschätzung für den allgemeinen Fall. Dazu untersuchen wir die \(SL_2\)-invarianten Polynome in den Graden 2 bis 4 auf (irreduziblen) \(SL_2\)-Darstellungen mittels Kombinatorik und wir untersuchen die (nicht-)Verschwindungsorte der invarianten Polynome von Grad 4 im Detail.