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Jorge Guajardo Merchan

• This thesis focuses on the implementation of hardware architectures for addition, multiplication, and inversion in fields \(GF(p^{m})\), for odd p. The first part surveys previous architectures used to implement addition and multiplication over GF(p). The second part generalizes architectures originally proposed for fields \(GF(2^{n})\) to the odd characteristic case. Both Least Significant and Most Significant Digit multiplier architectures are introduced and their time and area complexities compared. We also develop systolic designs based on our proposed multipliers and, for fixed p, we incorporate the notion of scalability. Finally, we consider inversion in \(GF(q^{m})\), \(p^{n}\), by giving a generalization of the Itoh and Tsujii inversion algorithm to fields of odd characteristic and a standard basis representation. We introduce families of irreducible polynomials which reduce the complexity of qth-power exponentiations and, thus, the overall inversion time.
• Diese Dissertation beschäftigt sich mit dem Entwurf von Hardwarearchitekturen für Addition, Multiplikation und Inversion in Körpern \(GF(p^{m})\) mit ungeradem p. Im ersten Teil werden bekannte Architekturen für Addition und Multiplikation in Körpern GF(p) untersucht, und im zweiten Teil werden Multiplizierer-Architekturen, die ursprünglich in \(GF(2^{n})\) vorgeschlagen wurden, für Körper \(GF(p^{m})\) verallgemeinert. Es werden LSD und MSD Multiplizierer vorgestellt und bezüglich Fläche und Laufzeit verglichen. Zusätzlich wird eine systolische Architektur vorgestellt, und für festes p wird der Begriff der Skalierbarkeit eingeführt. Schließlich wird die Inversion auf Basis des Algorithmus von Itoh und Tsujii auf Körper ungerader Charakteristik mit Polynomialbasis-Repräsentation verallgemeinert. Es werden Familien von irreduziblen Polynomen zur Verringerung des Aufwands einer Exponentiation mit q = \(p^{n}\) vorgestellt. Durch diese Reduktion wird auch die Laufzeit zur Berechnung der Inversen verringert.