Gizatullin Flächen mit Q-trivialem kanonischen Divisor
- Gizatullin Flächen sind algebraische affine normale Flächen über \(\bf C\) die sich durch eine bestimmte lineare Kette von Kurven vervollständigen (kompaktifizieren) lassen. Der kanonische Divisor ist der zu den 2-Formen assoziierte Divisor und heißt \(\bf Q\)-trivial, falls es eine natürliche Zahl \(\it n\) mit
\(\textit {n\(\cdot\) \(K_{x}\sim0\)}\)
gibt. Es wird unter Verwendung von gewichteten dualen Graphen bewiesen, dass jede Gizatullin Fläche \(\it X\) mit einem \(\bf Q\)-trivialem kanonischen Divisor eine effektive \(\bf C\)*-Wirkung zulässt. Aufgrund dieser lassen sich dann derartige Flächen mit Hilfe der sogenannten DPD-Darstellung präzise beschreiben. Im nicht-torischen Fall kann man schließlich ein Theorem von Flenner, Kaliman und Zaidenberg verwenden um zu zeigen, dass \(\it X\) äquivariant isomorph ist zu einer lokalen abgeschlossenen Untermenge eines projektiven gewichteten 3-dimensionalen Raumes \(\bf P\), die durch eine Gleichung der Form
\(\it xy-Q(z,s)=0\)
gegeben wird, wobei \(\textit {x, y, z, s}\) die Variablen von \(\bf P\) sind.
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