Symmetries in Quantum Schubert Calculus

  • The quantum cohomology of Grassmannians exhibits two symmetries related to the quantum product, namely a cyclic action and an involution related to complex conjugation. We construct a new ring by dividing out these symmetries in an ideal theoretic way and analyze its structure, which is shown to control the sum of all coefficients appearing in the product of cohomology classes. We derive a combinatorial formula for the sum of all Littlewood-Richardson coefficients appearing in the expansion of a product of two Schur polynomials.
  • Die Arbeit befasst sich mit dem Quantenkohomologiering von Grassmannschen Varietäten. Ich definiere eine Involution auf dem Quantenkohomologiering, welche mit komplexer Konjugation auf dessen Spektrum zusammenhängt, und eine Art Inversion definiert. Zusammen mit der von Agnihotri und Woodward entdeckten zyklischen Symmetrie des Quantenkohomologierings erzeugen diese Symmetrien den Nullraum der Bilinearform, welche als die Summe von Koeffizienten in der Entwicklung von Produkten bezüglich der Schuberbasis gegeben ist. Ich zeige, dass die Äquivalenzklassen dieser Relation frei erzeugt sind von Schubertklassen, deren Youngdiagramme in einem kleinen Rechteck enthalten sind. Weiterhin beweise ich eine einfache induktive Formel für ein modifiziertes Produkt von Schubertklassen, welches eng mit dem klassischen Cupprodukt von Schubertklassen zusammenhängt. Als Anwendung erhalte ich eine Formel für die Summe von Littlewood-Richardson-Zahlen, welche in der Entwicklung eines Produktes von Schur-Polynome auftreten. Die Darstellung des Spektrums des Quantenkohomologierings als Werte von elementarsymmetrischen Polynomen auf Tupeln von Einheitswurzeln induziert eine Symmetrie von Punkten und Funktionen auf dem Quantenring, welche eine Identifikation von verschiedenen invarianten Strukturen des Ringes impliziert. Ausserdem diskutiere ich den kombinatorischen Hintergrund dieser Strukturen und Möglichkeiten einer Verallgemeinerung der Resultate für den Fall von Varietäten vollständiger Fahnen.

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Metadaten
Author:Harald HengelbrockGND
URN:urn:nbn:de:hbz:294-7275
Referee:Bernd SiebertGND, Hubert FlennerGND
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2003/05/09
Date of first Publication:2003/05/09
Publishing Institution:Ruhr-Universität Bochum, Universitätsbibliothek
Granting Institution:Ruhr-Universität Bochum, Fakultät für Mathematik
Date of final exam:2003/02/21
Creating Corporation:Fakultät für Mathematik
GND-Keyword:Quantenkohomologie; Symmetrisches Polynom; Graßmann-Mannigfaltigkeit; Algebraische Kombinatorik; Fahnenmannigfaltigkeit
Dewey Decimal Classification:Naturwissenschaften und Mathematik / Mathematik
faculties:Fakultät für Mathematik
Licence (German):License LogoKeine Creative Commons Lizenz - es gelten der Veröffentlichungsvertrag und das deutsche Urheberrecht